Addition du cancre, suites de Farey et cercles de Ford - Olympiades 2020 Exercice 1

Dans tout l’énoncé, \(a\) , \(b\) , \(c\) ,  \(d\) désignent des entiers naturels, avec  \(b\neq0\) et \(d\neq0\) .

Partie A - L’addition du cancre

Le bon élève sait que, pour additionner deux fractions  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) , il faut d’abord réduire ces fractions au même dénominateur.

Toutefois, pour  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) deux fractions irréductibles, on définit « l’addition du cancre », notée  \(\bigoplus\) par :  \(\dfrac{a}{b}\bigoplus\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\) .

Ainsi, si avec l’addition standard, \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\) , on aura avec « l’addition du cancre »

\(\dfrac{1}{2}\bigoplus\dfrac{1}{3}=\dfrac{1+1}{2+3}=\dfrac{2}{5}\)  .

1. Calculer  \(\dfrac{2}{3}\bigoplus\dfrac{4}{5}\) puis  \(\dfrac{4}{6}\bigoplus\dfrac{4}{5}\) . Pourquoi est-il important de supposer  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) irréductibles ?

2. Justifier que  \(\big(1\bigoplus1\big)\bigoplus2=\dfrac{3}{2}\) et que \(1\bigoplus\big(1\bigoplus2\big)=\dfrac{4}{3}\) . Que dire de la nécessité des parenthèses ?

On dit que l’addition des cancres n’est pas associative.

3. Justifier que  \(2 \times\left(\dfrac{1}{2}\bigoplus\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{5}\) et calculer \(\dfrac{2}{2}\bigoplus\dfrac{2}{3}\) . Que dire de la nécessité des parenthèses ?

On dit que l’addition des cancres n’est pas distributive.

4. Justifier que si  \(x=\dfrac{a}{b}\) et  \(x=\dfrac{c}{d}\) sont des fractions irréductibles, alors \(\dfrac{1}{x}\bigoplus\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x\bigoplus y}\) .

Partie B - Suites de Farey

Pour tout entier \(n>1\) , on appelle suite de Farey d’ordre \(n\) , notée \(F_n\) , la liste, rangée dans l’ordre croissant, des fractions irréductibles comprises entre  \(0\) et \(1\) , dont le dénominateur ne dépasse pas \(n\) .

Par exemple, en remarquant que \(0=\dfrac{0}{1}\)  et \(1=\dfrac{1}{1}\)  , on a :

\(F_1=\left( \dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1} \right) F_2=\left( \dfrac{0}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{1}\right) F_3 =\left( \dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\right)\)  etc.

Le diagramme ci-dessous permet alors de représenter les différents termes des suites de Farey :

1. Recopier et compléter le schéma précédent, et déterminer \(F_4\) , \(F_5\) , \(F_6\) .

2. Justifier que, pour tout \(n\ge1\) , les termes d’une suite  \(F_n\) sont aussi des termes de \(F_{n+1}\) .

3. Montrer que, pour tout \(n\ge1\) , si  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) sont deux fractions consécutives de  \(F_{n+1}\) , avec \(\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}\)  , alors l’une au moins de ces deux fractions appartient à \(F_n\) .

4. Soit  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) deux fractions consécutives dans cet ordre d’une suite de Farey.

On admettra pour toute la suite de l’énoncé que dans ce cas, on a \(bc-ad=1\) .

Montrer qu’alors \(\dfrac{a}{b}<\left(\dfrac{a}{b}\bigoplus\dfrac{c}{d}\right) <\dfrac{c}{d}\) .

Un candidat attentif remarquera que, plus précisément,  \(\dfrac{a+c}{b+d}\) est la première fraction qui apparaît entre  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) dans la suite de Farey d’ordre supérieur. Ce résultat ne sera pas démontré ici.

5. Voici un algorithme écrit dans le langage Python \(3\) . Si  \(x\) est un réel entre  \(0\) et \(1\) , que représentent les valeurs \(a\) , \(b\) ,  \(c\) et  \(d\) renvoyées ?

\(\boxed{\begin{array}{} \texttt{def mystere(x):}\hspace{3 cm}\\ \quad\texttt{a=0}\\\quad\texttt{b=1}\\\quad\texttt{c=1}\\\quad\texttt{d=1}\\\quad\texttt{while b+d <= 6:}\\\qquad\texttt{e = a+c}\\\qquad\texttt{f = b+d}\\\qquad\texttt{if (e/f) < x:}\\\quad\qquad\texttt{a = e}\\\quad\qquad\texttt{b = f}\\\qquad\texttt{else:}\\\quad\qquad\texttt{c = e}\\\quad\qquad\texttt{d = f}\\\quad\texttt{return (a,b,c,d)}\\ \end{array}}\)

Partie C - Cercles de Ford

On appelle cercle de Ford associé à une fraction irréductible  \(\dfrac{p}{q}\) le cercle de centre le point de coordonnées  \(\left( \dfrac{p}{q},\dfrac{1}{2q^{2}} \right)\) et de rayon \(\dfrac{1}{2q^2}\) . On peut alors représenter les différentes suites de Farey avec ces cercles de Ford.

Par exemple, la suite  \(F_3\) se représente par les différents cercles ci-dessous :

L’objectif de cette partie est de démontrer la propriété suivante : « Les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d’une même suite de Farey sont tangents entre eux. »

1. Préciser les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵, centres des cercles de Ford respectivement associés à  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) , où  \(\dfrac{a}{b}\) et  \(\dfrac{c}{d}\) sont deux fractions consécutives d’une même suite de Farey.

2. Montrer alors que \(AB= \dfrac{1}{2b^2}+\dfrac{2}{2d^2}\) .

3. Conclure.